Удача часто играет большую роль в процессе размещения ставок. Иногда везение может стать залогом нашего успеха, а невезение – причиной поражения. Важно понимать роль фактора везения в процессе размещения ставок. Но насколько тонка грань между везением и невезением? Читайте дальше и узнайте ответы на свои вопросы.
Случайность играет важную роль в процессе размещения ставок на спорт. Почти всегда те, кто выигрывают, обязаны своим успехом везению, но букмекерская маржа и закон больших чисел в конце концов почти всегда сводят этот успех на нет. Тем из вас, кто читает наши статьи на протяжении нескольких лет, известно о нашей бескомпромиссности там, где речь идет о вероятности получения долгосрочной прибыли делающими ставки игроками. Мы не рассчитываем, что вы обязательно согласитесь с этим мнением, поскольку оно является основой конфликта между надеждой и реальностью, с которым сталкивается любой игрок.
Вот почему многие статьи этого раздела для размещения ставок носят образовательный характер и призваны помочь игрокам в приобретении опыта прогнозирования. Тем не менее правила вероятности применимы даже к тем немногим, кому удается вычислить выгодное долгосрочное математическое ожидание. В этой статье мы более подробно расскажем о том, как это происходит. В частности, мы проиллюстрируем, насколько тонка грань между везением и невезением.
Классический пример с подбрасыванием монеты
Всем нам известно, что при подбрасывании монеты вероятность выпадения «орла» или «решки» составляет 50 на 50. Мы также знаем, что если подбросить монету 20 раз, то нет гарантии, что она упадет десять раз «орлом» и десять раз «решкой», хоть это и наиболее вероятный результат. Иногда выпадает 12 «орлов» и восемь «решек», а иногда наоборот. Очень редко возможен результат пять «орлов» и 15 «решек». Для того чтобы точно определить вероятность каждого возможного результата, можно использовать биномиальное распределение. Для 20 подбрасываний монеты оно будет выглядеть следующим образом.
В большинстве случаев диапазон вероятных результатов варьируется от пяти «орлов» и 15 «решек» до 15 «орлов» и пяти «решек». Что же будет в случае 100 подбрасываний монеты? Распределение будет выглядеть следующим образом.
В этот раз диапазон вероятных результатов шире. Если представить результат наглядно, то для 20 подбрасываний монеты распределение значений будет находиться в пределах от пяти до 15 «орлов» (разница равна десяти). Для 100 подбрасываний монеты этот диапазон увеличится примерно в два раза и составит от 40 до 60 «орлов». Означает ли это, что по мере увеличения размера выборки данных при подбрасывании монеты, диапазон возможных результатов также увеличивается? Да и нет.
В большинстве случаев диапазон вероятных результатов варьируется от пяти «орлов» и 15 «решек» до 15 «орлов» и пяти «решек». Что же будет в случае 100 подбрасываний монеты? Распределение будет выглядеть следующим образом.
Когда математик Якоб Бернулли экспериментировал с таким сценарием, он заметил, что, хотя абсолютная численная разница между количеством «орлов» и «решек» может увеличиваться с увеличением размера выборки, процентное количество «орлов» приближается к отметке 50 %. Пять «орлов» из 20 – это 25 %; 40 из 100, однако, составляет 40 %. Это второе объяснение, определяющее основу закона больших чисел, очень важно для понимания игроками правил вероятности.
Среднеквадратическое отклонение для биномиального распределения
Измерить диапазон или дисперсию в распределении можно с помощью среднеквадратического отклонения. Для биномиального распределения среднеквадратическое отклонение (σ) можно выразить с помощью приведенного ниже простого уравнения.
n – число двоичных повторений (например, подбрасывания монеты), p – вероятность успеха (выпадение «орлов»), а q – вероятность неудачи (выпадение «решек»). Поскольку p + q = 1, получаем приведенное ниже уравнение.
n – число двоичных повторений (например, подбрасывания монеты), p – вероятность успеха (выпадение «орлов»), а q – вероятность неудачи (выпадение «решек»). Поскольку p + q = 1, получаем приведенное ниже уравнение.
А для простого случая, когда p = q (то есть 0,5), оно будет выглядеть указанным ниже образом.
Для 20 подбрасываний монеты σ = 2,24, а для 100 подбрасываний σ = 5.
Среднеквадратическое отклонение позволяет получить представление о диапазоне большинства возможных результатов. Например, если подбросить монету 100 раз, то чуть более двух третей случаев будут находиться в пределах ±1σ (45–55 «орлов»).
Мы подтвердили первый вывод Бернулли: чем больше размер выборки, тем больше абсолютная вариация. Но что произойдет, если вместо абсолютных показателей мы будем использовать процентное количество «орлов»? Для того чтобы вычислить процентное количество «орлов», необходимо разделить их число на общее количество подбрасываний монеты (n). Аналогичным образом, для того чтобы вычислить среднеквадратическое отклонение процентных показателей, мы также должны разделить эту величину на n.
Полученный результат для простых пари с вероятностью исходов 50 на 50 указан ниже.
Если теперь подбросить монету 20 раз, среднеквадратическое отклонение величины процентного количества «орлов» составит 0,11 (или 11 %), но для 100 подбрасываний монеты оно будет равно всего 0,05 (или 5 %).
Закон больших чисел
Согласно закону больших чисел, средний показатель результатов, полученных после проведения ряда экспериментов, будет ближе к ожидаемому значению по мере увеличения числа экспериментов. Что касается подбрасывания монеты, то чем больше раз мы ее подбросим, тем ближе будет процентный показатель количества «орлов» к ожидаемому значению 50 %.
Так как среднеквадратическое отклонение процентных показателей пропорционально квадратному корню из величины количества подбрасываний монеты, две переменные образуют так называемое отношение степенного закона, а среднеквадратическое отклонение варьируется в зависимости от степени или логарифма количества подбрасываний. На графике в двойном логарифмическом масштабе это отношение представлено в виде прямой линии; при каждом возведении n в квадрат значение σ увеличивается в два раза.
Это отношение степенного закона означает, что в пропорциональном смысле уменьшение среднеквадратического отклонения происходит преимущественно в первых нескольких экспериментах. Оно уменьшилось с σ = 0,5 после одного подбрасывания монеты до 0,1 после всего лишь 25 подбрасываний – на четыре пятых до предельного нулевого значения (после бесконечного числа подбрасываний). Таким образом мы можем оценить, как быстро начинает фактически действовать закон больших чисел. Для визуального представления скорости этого процесса необходимо перевести приведенную выше диаграмму в линейный масштаб.
Выигрыши и проигрыши в ставках
Выигрыши и проигрыши в ставках очень похожи на выпадение «орлов» и «решек» при подбрасывании монеты. Ставка, по сути, представляет собой пари с двумя исходами: она либо выигрывает, либо нет. Таким образом, для простейших историй ставок, где ожидаемая вероятность каждой победы остается неизменной, распределение возможных результатов также будет осуществляться по биномиальному закону.
Яркими примерами пари с двумя исходами служат ставки с форой на рынках американских видов спорта или ставки на футбол с азиатским гандикапом, где применение форы к результатам одной или другой команды превращает ставку в пари с вероятностью исходов 50 на 50 при справедливом коэффициенте 2,00.
Однако нельзя ограничиваться только теми пари, для которых вероятность исходов равна 50 на 50. Вспомним приведенное выше уравнение для среднеквадратического отклонения процентных показателей. Более типовой вариант, который позволяет учитывать другие возможные ожидаемые процентные показатели выигрышей, выглядит указанным ниже образом.
Даже в случае с опытными игроками, способными находить ожидаемые значения и получать долгосрочную прибыль, большую часть происходящих событий можно сравнить с беспорядочными помехами достаточно слабого сигнала, что просто объясняется случайной изменчивостью исхода, присущей таким сложным системам, как спортивные состязания.
Представим себе, что в течение длительного времени игрок делает ставки, представляющие собой пари с вероятностью исходов 50 на 50, и выигрывает в 55 % случаев. Ему удалось увеличить ожидаемый процентный показатель выигрышей с 50 до 55 % благодаря своим прогностическим навыкам, но это не означает, что он сможет избежать влияния биномиальных правил дисперсии.
Воспользовавшись приведенным выше уравнением, можно рассчитать, что в его случае среднеквадратическое отклонение процентного показателя выигрышей после 275 ставок должно составить 3 %, то есть примерно две трети от величины вероятности того, что коэффициент выигрышей будет равен 52–58 % для истории ставок такого размера.
Если мы продолжим делать простые ставки с одной и той же ожидаемой вероятностью выигрыша (коэффициентом) для каждой ставки, мы сможем использовать биномиальное распределение для того, чтобы достаточно точно определить вероятность любого события (в Excel это можно сделать с помощью функции BINOMDIST).
Мы проиллюстрировали это ниже для нескольких историй ставок. В первой истории всего 20 ставок. Численные значения на графике представляют суммарную вероятность того, что фактический процентный показатель выигрышей будет выше определенного значения. Например, если долгосрочное математическое ожидание равно 20 %, вероятность выигрыша для более шести ставок (30 %) составляет 9 %. Вероятность выигрыша в 20 случаях из 20 равна примерно 1 %, если обычно вы ожидаете, что выиграете в 16 случаях.
В общих чертах, красные и зеленые области обозначают зоны убытков и прибылей соответственно при условии, что используются справедливые коэффициенты. Неудивительно, что если ваш показатель количества проигрышей по ставкам превысит ожидаемое значение, вы понесете финансовые убытки, однако, как вы может видеть, результативность, которая была бы значительно ниже обычных показателей, не является типичным явлением.
Даже после всего лишь 20 ставок типа «один к одному» в трех четвертых случаев вы сможете получить выигрыш по девяти ставкам или больше. Закон больших чисел на вашей стороне и защищает вас от угрозы увеличения процентной доли убытков.
Однако есть и другое следствие. Если вы выигрываете чаще, чем ожидаете, вы будете получать прибыль, но вряд ли она будет большой. Даже если вы являетесь опытным игроком, способным в долгосрочной перспективе получать выигрыш по 55 % ставок типа «один к одному», вероятность того, что из 20 сделанных вами ставок 14 или более окажутся выигрышными, составляет всего 13 %. В этом случае закон больших чисел действует против вас и мешает достичь увеличения процентной доли прибыли.
Желтая область – это область безубыточности игроков. Поразительно, насколько незначительна по своему размеру область, которая является границей между чрезмерным везением и невезением и к которой относится большая часть результатов ставок.
Посмотрите, что происходит с желтой областью после 100 ставок.
Шансы на то, что математическое ожидание значительно превзойдет долгосрочное ожидание, существенно сократились. А после 1000 ставок?
Конечно, в реальном мире ставок игроки, не обладающие достаточными навыками, не выходят на уровень безубыточности за счет соответствия математическому ожиданию. После размещения 1000 ставок с учетом букмекерской маржи проигрыш, по сути, будет неизбежен. Закон больших чисел стал причиной вашего краха. Однако в случае с опытными игроками картина будет совершенно иной.
Если вы заключаете 1000 пари типа «один к одному» и ожидаете получить выигрыш в 55 % случаев, то как минимум 50 % ставок почти всегда будут выигрышными. Если букмекерская маржа меньше величины разницы между ожидаемым вами процентным показателем выигрышей и букмекерским процентным показателем выигрышей, ваши шансы на получение долгосрочной прибыли достаточно высоки. По этому поводу на авторитетном веб-сайте ProfessionalGambler.com можно найти следующее высказывание:
«Разница между процентным показателем количества ставок на спорт, выигранных успешными игроками, и процентным показателем количества ставок, выигранных хроническими неудачниками, относительно невелика».
Теперь и вы можете видеть, насколько она мала. Закон больших чисел действительно может стать для делающего ставки игрока как благословением, так и проклятием.
Очевидно, что ставки большинства людей не так просты, как предполагается в этой статье, при том что игроки выбирают различные коэффициенты и ставят разные суммы денег. Для их анализа нужно использовать более изощренные математические расчеты или обратиться к технике моделирования по методу Монте-Карло, если эта задача становится слишком сложной.
Кроме того, без внимания осталась интересная тема дисперсии фактических показателей прибылей и убытков, затронутая нами в предыдущих статьях (чем выше коэффициент, тем больше дисперсия значений прибыли и убытков).
Тем не менее цель этой статьи состояла в том, чтобы проиллюстрировать скорость и степень проявления закона больших чисел и показать, насколько тонка грань между ожидаемыми и реальными результатами, а также областями везения и невезения.